Bài 1: 

a) Để (d) đi qua A(1;-9) thì

Thay x=1 và y=-9 vào (d), ta được:

\(3m\cdot1+1-m^2=-9\)

\(\Leftrightarrow-m^2+3m+1+9=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m-10=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-5m+2m-10=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m-5\right)+2\left(m-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-5\right)\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-5=0\\m+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Để (d) đi qua A(1;-9) thì \(m\in\left\{5;-2\right\}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(x^2=3mx+1-m^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-3mx+m^2-1=0\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\text{Δ}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(-3m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow9m^2-8m^2+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow m^2+4\ge0\)(luôn đúng)

Suy ra: (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1\cdot x_2=m^2-1\\x_1+x_2=3m\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có phương trình: \(3m=2\cdot\left(m^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-4m+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(m-2\right)+\left(m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(2m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\2m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\2m=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1+x_2=2x_1x_2\) thì \(m\in\left\{2;-\dfrac{1}{2}\right\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$

Có: $x^2=3mx+1-m^$

$⇔x^2-3mx+m^2-1=0(1)$

Xét phương trình (1) có dạng $ax^2+bx+c=0$ với
$\begin{cases}a=1 \neq 0\\b=-3m\\c=m^2-1\end{cases}$

$⇒pt(1)$ là phương trình bậc hai một ẩn $x$

Có $\delta=b^2-4ac=9m^2-4.1.(m^2-1)=5m^2+4>0 \forall m$

suy ra $pt(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$

Theo hệ thức Viete có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=3m\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-1\end{cases}$

Nên $x_1+x_2=2x_1.x_2$

$⇔3m=2.(m^2-1)$

$⇔2m^2-3m-2=0$

$⇔(m-2)(2m+1)=0$

$⇔$\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy $m∈2;\dfrac{-1}{2}$ thỏa mãn đề

a) Đường thẳng (d) đi qua A(1; 0) => x = 1 và y = 0

DO đó: 0 = m - 3 <=> m = 3

b) pt hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là:

 x² = mx - 3 <=> x² - mx + 3 = 0 (1)

\(\Delta\)= (-m)² - 3.4 = m² - 12

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm pb <=>  pt (1) có 2 nghiệm pb 

<=> \(\Delta\)> 0 <=> m² - 12 > 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}m>2\sqrt{3}\\m< -2\sqrt{3}\end{cases}}\)

Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=3\end{cases}}\)

Theo bài ra, ta có: |x₁ - x₂| = 2

<=> x₁² - 2x₁x₂ + x₂² = 4

<=> (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 4

<=> m² - 4.3 = 4

<=> m² - 16 = 0

<=> (m  - 4)(m + 4) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}m=4\\m=-4\end{cases}}\)(tm)

Lời giải:
a. Để $(d)$ đi qua $A(1;0)$ thì:
$y_A=2x_A-m+3$

$\Leftrightarrow 0=2.1-m+3=5-m$

$\Leftrightarrow m=5$

b.

PT hoành độ giao điểm:

$x^2-(2x-m+3)=0$

$\Leftrightarrow x^2-2x+m-3=0(*)$

Để $(P), (d)$ cắt nhau tại 2 điểm pb thì $(*)$ phải có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi:

$\Delta'=1-(m-3)>0\Leftrightarrow 4-m>0\Leftrightarrow m< 4$

Áp dụng định lý Viet: $x_1+x_2=2$ và $x_1x_2=m-3$

Khi đó:
$x_1^2-2x_2+x_1x_2=-12$

$\Leftrightarrow x_1^2-(x_1+x_2)x_2+x_1x_2=-12$

$\Leftrightarrow x_1^2-x_2^2=-12$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)(x_1+x_2)=-12$
$\Leftrightarrow x_1-x_2=-6$

$\Rightarrow x_1=-2; x_2=4$

$m-3=x_1x_2=(-2).4=-8$

$\Leftrightarrow m=-5$ (tm)

Phương trình hoành độ giao điểm d và (P):

\(-2x^2=x-m\Leftrightarrow2x^2+x-m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại 2 điểm pb khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=1+8m>0\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{8}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{1}{2}\\x_1x_2=-\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2=x_1x_2\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{m}{2}\Leftrightarrow m=1\)

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(-2x^2=x-m\Leftrightarrow2x^2+x-m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại 2 điểm pb khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta=1+8m>0\Rightarrow m>-\dfrac{1}{8}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{1}{2}\\x_1x_2=-\dfrac{m}{2}\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2=x_1x_2\Leftrightarrow-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{m}{2}\)

\(\Rightarrow m=1\) (thỏa mãn)

PTHĐGĐ là;

x^2-6x+m-3=0

Δ=(-6)^2-4(m-3)=36-4m+12=-4m+48

Để PT có hai nghiệm phân biệt thì -4m+48>0

=>m<12

(x1-1)(x2^2-x2(x1+x2-1)+x1x2-1)=2

=>(x1-1)(-x1x2+x2+x1x2-1)=2

=>x1x2-(x1+x2)+1=2

=>m-3-6+1=2

=>m-8=2

=>m=10

b. Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2=4x-m\Leftrightarrow x^2-4x+m=0\) (1)

d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta'=4-m>0\Rightarrow m< 4\)

Khi đó kết hợp hệ thức Viet và điều kiện đề bài:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\2x_1+x_2=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1=-9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-9\\x_2=13\end{matrix}\right.\)

Mà \(x_1x_2=m\)

\(\Rightarrow m=-9.13=-117\)

a) Thay m=6 vào (d), ta được: y=4x-6

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(2x^2=4x-6\)

\(\Leftrightarrow2x^2-4x+6=0\)

\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot2\cdot6=16-48=-32\)(loại)

Vì Δ<0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy: Khi m=6 thì (P) và (d) không có điểm chung